권윤정 수학교육학 박사

‘개념을 가져라’, ‘개념이 없다’ 등의 일상에서 개념이라는 단어는 왕왕 사용됩니다. 수학에서도 개념이 매우 중요하다고 말합니다. 그럼 개념은 무슨 말일까요?

개념은 영어로 concept입니다. 여기서 con-은 ‘함께’, ‘공통의’, ‘집약된’이라는 것을 뜻하고, -cept는 ‘취하다’, ‘잡다’, ‘파악하다’라는 뜻을 가집니다. 즉 개념(concept)이란 사람들이 공통으로 파악하는 것을 말합니다. 개념의 사전적 정의는 ‘사물의 본질을 파악하는 양식’입니다.

자연수를 예를 들어볼게요.

자연수의 개념을 갖기 위해서는 자연수의 본질을 이해해야 하는데요. 이를 위해서는 자연수가 무엇인지 사람들끼지 합의하에 정한 약속(정의)을 이해해야 합니다. 그 다음 어떤 특징을 가지고 있는지에 대해 알고 있어야 합니다.

먼저 자연수가 무엇인지를 알아야 합니다.

자연수란 수의 발생과 함께 자연스럽게 있다고 생각하는 수, 무한히 이어지는 {1,2,3,…}의 집합, 사물의 개수를 세거나 순서를 매길 때 사용되는 수 등으로 약속할 수 있습니다. 물론 ‘페아노의 공리계’라는 더 엄밀한 정의(약속)가 있지만 여기서는 생략하겠습니다. 이러한 자연수는 1, 2, 3, 4, 5, …로 표현할 수 있습니다.

자연수의 개념을 이해한다는 것은 자연수 뜻에 들어간 의미와 성질까지 생각할 수 있어야 합니다.

그중 몇 가지를 설명하면 다음과 같습니다.

• 자연수의 본질은 헤아리는 것입니다. 왜냐하면 자연수는 무언가를 세거나 헤아려야 할 필요성 때문에 그 도구로 만든 것이기 때문입니다.

• 자연수는 수학적 연산을 위해 사용되는 가장 기본적인 대상입니다.

• 자연수가 사용되는 상황은 전체 양이나 개수를 나타낼 때, 순서를 매길 때, 주민등록번호나 전화번호처럼 기호의 역할을 할 때가 있습니다. 즉, 자연수는 양을 셀 때, 순서를 매길 때, 어떤 명칭을 수로 대신할 때 사용합니다.

• 자연수는 다양한 기준으로 분류할 수 있습니다. 2의 배수이냐 아니냐에 따라 홀수와 짝수로 나눌 수 있습니다. 약수의 개수가 1개인지, 2개인지, 3개 이상인지에 따라 1, 소수, 합성수로 나눌 수 있습니다.

• 자연수를 이용해 사칙연산을 할 수 있습니다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기는 각각 여러 가지 상황에 적용할 수 있습니다. 예를 들어 놀이터에 여자가 2명, 남자가 3명이 있다면 이 방안에는 5명이 있습니다. 또한 놀이터에 여자가 2명이 있는데, 새로운 친구 3명이 들어왔다면 이 방에는 모두 5명이 있게 됩니다. 첫 번째는 놀이터에 있는 모든 사람을 더하는 상황이고, 두 번째는 추가로 사람이 와 더해지는 상황입니다. 그러나 이를 식으로 표현하면 2+3=5로 같습니다. 이렇게 같은 식이라도 다른 상황에 적용될 수 있습니다.

• 자연수는 헤아리면서 연산으로 생각이 확장되었고, 연산을 하기 위해서는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이라는 규칙을 알아야 합니다.

• 자연수의 곱셈과 나눗셈에서 나온 개념으로 약수, 배수, 최대공약수, 최소공배수 등이 있고, 이는 분수의 계산에 필요합니다.

• 같은 자연수를 곱하거나 나눌 때 간단히 나타내기 위해 거듭제곱과 지수법칙을 이용합니다.

이 외에도 많은 것들이 개념에 포함되어 있습니다. 따라서 어떤 것의 개념을 안다는 것은 사전적 설명을 비롯하여 그 안에 들어간 의미를 떠올릴 수 있다는 말이기도 합니다.

그럼 개념을 이해하기 위한 방법은 무엇이 있을까요?

해당 개념이 적용되는 상황들을 에피소드와 엮어서 말해보는 것입니다. 그런 다음 그 개념들을 종류별로 분류하여 마인드맵, 표, 벤다이어그램, 그림 등의 형식으로 도식화하면 좋습니다.

인간은 이야기 형식의 내용을 더 잘 받아들입니다. 그 이야기가 자신의 경험과 함께 버무려지면 이해하는 데 더욱 쉽겠죠. 개념을 단순히 이해하는 것으로 끝나는 것이 아니라, 개념을 오랫동안 기억할 수 있어야 하는데요. 이를 위해서는 이야기 형식으로 정리하는 것보다 그림 형태의 시각화가 훨씬 도움이 됩니다.